Um computador escreveu, um ao lado do outro, os múltiplos positivos de 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 ... Considere a sequência numérica definida pelos algarismos que formam os números escritos, da esquerda para a direita: a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9, a4 = 1, a5 = 2, e assim por diante, infinitamente. Qual é o termo a_967 dessa sequência?

Escrevemos os múltiplos positivos de 3 em sequência e olhamos para os algarismos (dígitos) formados.

1) Contar quantos dígitos vêm dos múltiplos de 3 com 1 algarismo

São: $3,6,9$. Isso gera $3$ dígitos. Logo, até aí temos $a_1$ até $a_3$.

Precisamos de $a_{967}$, então faltam $967-3=964$ dígitos a partir de 12 (primeiro múltiplo de 3 com 2 dígitos).

2) Agora considerar os múltiplos de 3 com 2 algarismos

Eles vão de $12$ até $99$. Quantidade de múltiplos de 3 nesse intervalo:

• múltiplos de 3 até 99: $99/3=33$;
• múltiplos de 3 até 9: $9/3=3$;
• então, de 12 a 99: $33-3=30$ números.

Cada um tem 2 dígitos, então contribuem com $30\cdot 2=60$ dígitos.

Após os de 2 algarismos, já consumimos $3+60=63$ dígitos no total. Faltam $967-63=904$ dígitos, agora começando em $102$ (primeiro múltiplo de 3 com 3 algarismos).

3) Múltiplos de 3 com 3 algarismos

Cada número contribui com 3 dígitos. Como precisamos de 904 dígitos: [ 904 = 3\cdot 301 + 1 ] Ou seja:

• avançamos por 301 números completos de 3 dígitos (isso usa 903 dígitos);
• e o dígito procurado é o 1º dígito do próximo número.

O primeiro múltiplo de 3 com 3 dígitos é $102$. O 1º deles é $102$, o 2º é $105$, etc. Então o 302º número dessa lista é: [ 102 + (302-1)\cdot 3 = 102 + 301\cdot 3 = 102 + 903 = 1005. ] Como queremos o 1º dígito de 1005, esse dígito é 1.

Portanto, $a_{967}=1$.

Alternativa correta: (A).