Considere a expressão: AAAPAAR Deseja-se saber quantos são os anagramas dessa expressão nos quais há, pelo menos, uma letra A entre as letras P e R. Quantos são os anagramas que atendem a essa restrição?

A expressão AAAPAAR tem 7 letras, com repetições: $A$ (5 vezes), $P$ (1 vez) e R\ (1 vez).

1) Total de anagramas

O número total de anagramas distintos é: [ \frac{7!}{5!}=\frac{5040}{120}=42. ]

2) Contar o complemento (não satisfazem a restrição)

A restrição pede: existir pelo menos um A entre P e R. Vamos contar os anagramas em que não há A entre P e R.

Como só existem as letras $P$ e R\ (uma de cada), “não haver A entre elas” significa que $P$ e R\ ficam adjacentes (coladas), pois as únicas letras disponíveis para ficar entre elas seriam $A$’s.

Tratar (PR) como um bloco

Considere o bloco PR\ como uma única “superletra”. Então teremos para organizar:

• o bloco $(PR)$,
• e 5 letras $A$.

Total de objetos: 6, com 5 iguais. Número de arranjos: [ \frac{6!}{5!}=6. ]

Mas o bloco pode ser PR ou RP, então multiplicamos por 2: [ 6 \times 2 = 12. ]

Logo, 12 anagramas não têm nenhuma letra $A$ entre $P$ e R\.

3) Aplicar a condição “pelo menos um A entre P e R”

Então, os que atendem à restrição são: [ 42 - 12 = 30. ]

Como a alternativa correspondente é a letra C.

Alternativa correta: (D).