Em um porto há 100 pátios numerados, de 1 a 100, que recebem contêineres. A partir do pátio com numeração 1, os contêineres são alocados seguindo a ordem crescente das numerações dos pátios, de forma que um contêiner é alocado em um pátio apenas quando todos aqueles com numeração inferior já estão cheios. Os pátios com numeração ímpar acomodam até 34 contêineres, e os pátios com numeração par acomodam até 20 contêineres. Inicialmente, os pátios do porto estavam vazios, mas acabaram de receber 1020 contêineres. Seja N a numeração do pátio que recebeu contêineres, mas não ficou cheio; e seja K o número total de contêineres presentes no pátio N. A soma N + K é igual a

Como a alocação é sequencial (só começa o pátio $n$ quando todos os anteriores estão cheios), haverá exatamente um pátio que recebeu contêineres e não ficou cheio: o pátio $N$.

Até um pátio de número $n$ (inclusive), há:

• $\lceil n/2\rceil$ pátios ímpares (capacidade 34 cada);
• $\lfloor n/2\rfloor$ pátios pares (capacidade 20 cada).

Logo, a capacidade total dos pátios de 1 até $n$ é

$$C(n)=34\,\lceil n/2\rceil + 20\,\lfloor n/2\rfloor.$$

Vamos testar valores próximos:

• Para $n=29$ (ímpar): ímpares $=15$, pares $=14$.

$$C(29)=34\cdot 15 + 20\cdot 14 = 510 + 280 = 790.$$

• Para $n=30$ (par): ímpares $=15$, pares $=15$.

$$C(30)=34\cdot 15 + 20\cdot 15 = 510 + 300 = 810.$$

• Para $n=31$ (ímpar): ímpares $=16$, pares $=15$.

$$C(31)=34\cdot 16 + 20\cdot 15 = 544 + 300 = 844.$$

Como chegaram 1020 contêineres, vários pátios ficam cheios. Precisamos do primeiro $n$ tal que $C(n)\ge 1020$.

Continuando por blocos (cada par “ímpar+par” adiciona $34+20=54$):

• Até $n=31$, temos $844$.
• De $n=32$ até $n=39$ são 8 pátios (4 pares de pátios), adicionando $4\cdot 54=216$. Então:

$$C(39)=844+216=1060.$$

E para $n=38$ (um a menos, retirando o pátio 39 que é ímpar e vale 34):

$$C(38)=1060-34=1026.$$

Para $n=37$ (retirando ainda o pátio 38 que é par e vale 20):

$$C(37)=1026-20=1006.$$

Assim,

$$C(37)=1006 < 1020 \le C(38)=1026.$$

Logo, o pátio não cheio é $N=38$.

Os pátios 1 a 37 estão cheios (1006 contêineres). Sobram:

$$K = 1020-1006 = 14.$$

Portanto,

$$N+K=38+14=52.$$