Considere todos os números inteiros e positivos que são formados por quatro algarismos e cujo produto é igual a 8. Um desses números foi escolhido ao acaso e, em seguida, um dos seus quatro algarismos foi também escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de o algarismo escolhido ser igual a 1?

Para um número inteiro positivo de 4 algarismos ter produto dos algarismos igual a 8, nenhum algarismo pode ser 0 e os algarismos possíveis são apenas os que dividem 8: $\{1,2,4,8\}$.

Fatorando $8=2^3$. Cada algarismo contribui com uma potência de 2:

• $1=2^0$
• $2=2^1$
• $4=2^2$
• $8=2^3$

Se os quatro algarismos são $2^{e_1},2^{e_2},2^{e_3},2^{e_4}$, então [ 2^{e_1+e_2+e_3+e_4}=8=2^3 \Rightarrow e_1+e_2+e_3+e_4=3, ] com $e_i\in\{0,1,2,3\}$.

Logo, estamos contando as soluções inteiras não negativas de $e_1+e_2+e_3+e_4=3$ (o limite $\le 3$ já é automático). O número de soluções é [ \binom{3+4-1}{4-1}=\binom{6}{3}=20. ] Cada solução corresponde a um número de 4 algarismos (ordenado), então há 20 números possíveis, todos equiprováveis.

Agora queremos a probabilidade de, após escolher um desses 20 números ao acaso e depois escolher uma de suas 4 posições ao acaso, o algarismo ser 1. Isso é equivalente a escolher ao acaso um par (número, posição), totalizando $20\times 4=80$ pares igualmente prováveis.

Contemos quantos desses 80 pares têm algarismo 1 na posição escolhida. Fixe uma posição (por exemplo, a 1ª). Para o algarismo nessa posição ser 1, precisamos de $e_1=0$ e então [ e_2+e_3+e_4=3. ] O número de soluções é [ \binom{3+3-1}{3-1}=\binom{5}{2}=10. ] Como há 4 posições possíveis, o total de pares favoráveis é $4\times 10=40$.

Assim, a probabilidade é [ \frac{40}{80}=\frac{1}{2}. ]

Mas atenção: esse cálculo dá a fração de posições com algarismo 1 na distribuição uniforme sobre as soluções em expoentes; porém, cada solução em expoentes corresponde a um número, e a escolha do algarismo é uniforme entre as 4 posições. Isso já foi incorporado corretamente.

Recontando diretamente para evitar erro: a probabilidade pedida é a média do “número de 1s no número / 4” sobre os 20 números.

• Casos possíveis de multiconjuntos de algarismos cujo produto é 8:
  1. $\{8,1,1,1\}$ (três 1s)
  2. $\{4,2,1,1\}$ (dois 1s)
  3. $\{2,2,2,1\}$ (um 1)
• Quantidades de números (permutações):
  1. $\frac{4!}{3!}=4$
  2. $\frac{4!}{2!}=12$
  3. $\frac{4!}{3!}=4$ Total: $4+12+4=20$ (ok).
• Total de algarismos “1” somando todos os 20 números:
  1. $4$ números com 3 uns cada $\Rightarrow 12$
  2. $12$ números com 2 uns cada $\Rightarrow 24$
  3. $4$ números com 1 um cada $\Rightarrow 4$ Soma: $12+24+4=40$ uns.
• Total de algarismos observáveis ao escolher um número e uma posição: $20\times 4=80$.

Logo, [ P(\text{algarismo}=1)=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}. ]

Como $\frac{1}{2}$ está nas alternativas, a correta é a letra D.