Considere o conjunto numérico A, formado por 10 números inteiros, cuja média aritmética é igual a zero. Sobre os elementos do conjunto A que não são negativos, é necessariamente verdade que

Seja A um conjunto (na prática, uma coleção) de 10 inteiros com média 0. Então a soma total é

$$S=0.$$

Divida os elementos em dois grupos:

• Não negativos: $x\ge 0$ (inclui os zeros). Seja $S_{\ge 0}$ a soma deles.
• Não positivos: $x\le 0$ (inclui os zeros). Seja $S_{\le 0}$ a soma deles.

Observe que os elementos iguais a zero pertencem aos dois grupos ao mesmo tempo.

Considere agora apenas os positivos e os negativos (excluindo os zeros):

• $S_+$ = soma dos elementos $>0$.
• $S_-$ = soma dos elementos $<0$ (portanto $S_-\le 0$).

Como a soma total é zero, temos

$$S_+ + S_- + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad S_+ = -S_-.$$

Mas:

• A soma dos não negativos é $S_{\ge 0}=S_+$ (pois os zeros não alteram a soma).
• A soma dos não positivos é $S_{\le 0}=S_-$ (zeros também não alteram a soma).

Logo,

$$S_{\ge 0} = -S_{\le 0},$$

isto é, a soma dos não negativos é o simétrico da soma dos não positivos.

Portanto, a alternativa necessariamente verdadeira é a B.