Assinale a ÚNICA alternativa CORRETA:

Vamos analisar cada alternativa.

a) Falsa. O anel de matrizes $M_3(\mathbb{R})$ não é domínio de integridade porque tem divisores de zero. Por exemplo, tome [ A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&0&0\0&0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0&0\0&1&0\0&0&0\end{pmatrix}. ] Então $A\neq 0$, $B\neq 0$, mas $AB=0$.

b) Falsa. Para existir (e estar bem definido) o corpo de frações no sentido usual, não basta ser anel comutativo: é preciso que $A$ seja domínio de integridade (anel comutativo sem divisores de zero). Se houver divisores de zero, a construção padrão quebra/degenera e não se obtém um corpo em geral.

c) Falsa. A imagem de um homomorfismo de anéis $f:A\to B$ é um subanel de $B$, mas em geral não é ideal. Exemplo: a inclusão $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ tem imagem $\mathbb{Z}$, que não é ideal de $\mathbb{Q}$ (pois se $1\in\mathbb{Z}$, então para ser ideal teria que conter $\frac12\cdot 1=\frac12$, o que não ocorre).

d) Verdadeira. Se $A$ é comutativo com unidade e tem apenas dois ideais, eles só podem ser $(0)$ e $A$. Pegue $a\in A$ com $a\neq 0$. O ideal principal $(a)$ não pode ser $(0)$, então deve ser $A$. Logo $1\in(a)$, isto é, existe $b\in A$ tal que $ba=1$. Assim, todo elemento não nulo é invertível, portanto $A$ é um corpo.

e) Falsa. Existe sim: em qualquer corpo de característica 2 vale [ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+b^2 ] pois $2=0$. Exemplo: $\mathbb{F}_2$.

Alternativa correta: d.