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Seja A um anel com elemento neutro 0_A. Qual das afirmações a seguir é necessariamente verdadeira?
Questão
Seja A um anel com elemento neutro 0_A. Qual das afirmações a seguir é necessariamente verdadeira?
Alternativas
a) a · b = 0_A implica que a = 0_A ou b = 0_A.
b) a · b = b · a, para quaisquer a, b ∈ A.
c) a · 0_A = 0_A · a = 0_A, para todo a ∈ A.
d) Para todo a ∈ A, existe um único b ∈ A tal que a · b = 1_A.
e) Existe um elemento 1_A em A tal que a · 1_A = a, para todo a ∈ A.
Explicação
Em um anel , é o elemento neutro da adição (isto é, ), e a multiplicação é distributiva em relação à adição.
Para qualquer , [ a\cdot 0_A = a\cdot(0_A+0_A)=a\cdot 0_A + a\cdot 0_A. ] Subtraindo em ambos os lados (usando o inverso aditivo), obtemos [ 0_A = a\cdot 0_A. ] Analogamente, [ 0_A\cdot a = (0_A+0_A)\cdot a = 0_A\cdot a + 0_A\cdot a \implies 0_A\cdot a = 0_A. ] Logo, necessariamente para todo .
As demais alternativas não são necessariamente verdadeiras para todo anel: (a) falha em anéis com divisores de zero; (b) nem todo anel é comutativo; (d) descreve inversos multiplicativos (mais forte, típico de corpo/divisão); (e) nem todo anel tem unidade multiplicativa .
Alternativa correta: c.
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