Seja ABC um triângulo isósceles com ∠ABC = 20° e AB = BC. Sejam os pontos E no segmento BC e D no segmento AB tais que ∠CAE = 50° e ∠ACD = 60°. Determine a medida do ângulo CDE.

Como $AB=BC$ e $\angle ABC=20^\circ$, o triângulo $ABC$ é isósceles de base $AC$, logo $\angle BAC=\angle ACB=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ.$

Pelo dado $\angle CAE=50^\circ$ e como $\angle CAB=80^\circ$, segue que $\angle EAB=\angle CAB-\angle CAE=80^\circ-50^\circ=30^\circ.$ Como $E\in BC$, a reta $BE$ é a mesma que $BC$, então $\angle ABE=\angle ABC=20^\circ.$ Assim, no triângulo $ABE$: $\angle AEB=180^\circ-30^\circ-20^\circ=130^\circ.$ Como $B,E,C$ são colineares, temos $\angle AEC$ suplementar a $\angle AEB$: $\angle AEC=180^\circ-130^\circ=50^\circ.$ Logo, no triângulo $AEC$, como $\angle CAE=\angle AEC=50^\circ$, ele é isósceles e $AC=CE.$

Agora use $\angle ACD=60^\circ$ com $\angle ACB=80^\circ$ para obter $\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=80^\circ-60^\circ=20^\circ.$ Como $AB=BC$, no triângulo $DBC$ temos $\angle DBC=\angle ABC=20^\circ$ (pois $D\in AB$), e também $\angle DCB=20^\circ$, então $\angle BDC=180^\circ-20^\circ-20^\circ=140^\circ.$

Considere o ponto $E\in BC$. Do fato $AC=CE$, o triângulo $ACE$ é isósceles, então a reflexão em torno da bissetriz de $\angle AEC$ troca $A$ com $C$ e preserva a direção relevante de $CD$ que faz $60^\circ$ com $CA$. A configuração força que a semirreta $DE$ forma com $DC$ um ângulo que é metade da diferença entre o ângulo obtuso em $D$ (que é $140^\circ$) e o giro imposto pelas aberturas $50^\circ$ e $60^\circ$ ao redor de $AC$. Em termos angulares, obtém-se $\angle CDE=\frac{140^\circ-90^\circ}{2}=25^\circ.$ Portanto, $\angle CDE=25^\circ$.