Durante a análise de um componente óptico, engenheiros identificaram que a região entre as curvas y = x^2 e y = √x, no intervalo de x = 0 a x = 1 representa a área de passagem de luz entre duas camadas de material. Com base no gráfico e nas funções fornecidas, qual expressão representa corretamente a integral que calcula a área da região destacada entre as curvas?

Para calcular a área entre duas curvas em função de $x$ no intervalo $[a,b]$, usamos:

$A=\int_a^b (\text{função de cima} - \text{função de baixo})\,dx.$

No intervalo $0\le x\le 1$:

• $y=\sqrt{x}$ fica acima de $y=x^2$ (por exemplo, em $x=\tfrac14$: $\sqrt{\tfrac14}=\tfrac12$ e $(\tfrac14)^2=\tfrac1{16}$).
• As curvas se encontram em $x=0$ e $x=1$ (pois $\sqrt{0}=0^2$ e $\sqrt{1}=1^2$).

Logo, a área sombreada é dada por:

$A=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right)\,dx.$

Alternativa correta: (não há opções).