Determinar a área entre as curvas y = x^2 e y = 8 - x^2

Para achar a área entre as curvas, primeiro encontramos os pontos de interseção:

$x^2 = 8 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.$

No intervalo $[-2,2]$, a curva superior é $y=8-x^2$ e a inferior é $y=x^2$. Então a área é:

$A = \int_{-2}^{2} \big[(8-x^2) - (x^2)\big] \, dx = \int_{-2}^{2} (8-2x^2)\,dx.$

Calculando:

$\int (8-2x^2)\,dx = 8x - \frac{2}{3}x^3.$

Aplicando os limites:

= \left(16 - \frac{16}{3}\right) - \left(-16 + \frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3} - \left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{64}{3}.$$ Logo, a área entre as curvas é $\frac{64}{3}$ unidades de área. Alternativa correta: (B).