99% confiança
Calcule a seguinte integral indefinida ∫ √[3]{7 + x^5} x^4 dx
Questão
Calcule a seguinte integral indefinida ∫ √[3]{7 + x^5} x^4 dx
Alternativas
A) \frac{3}{20}(7 + x^5)^{4/3} + C
B) \frac{2}{10}(7 - x^5)^{4/3} + C
C) (7 - x^4)^4 + C
D) \frac{3}{20}(x^5)^{1/3} + C
Explicação
Queremos calcular [ \int (7+x^5)^{1/3},x^4,dx. ]
Passo 1: Substituição Tome [ u = 7+x^5 \quad\Rightarrow\quad d\nu = 5x^4,dx \quad\Rightarrow\quad x^4,dx = \frac{1}{5}d\nu. ]
Passo 2: Reescrever a integral em (\nu) [ \int (7+x^5)^{1/3}x^4,dx = \int \nu^{1/3}\cdot \frac{1}{5}d\nu = \frac{1}{5}\int \nu^{1/3}d\nu. ]
Passo 3: Integrar Usando a regra (\int \nu^a d\nu = \frac{\nu^{a+1}}{a+1}+C) (para (a\neq -1)), com (a=\frac{1}{3}): [ \frac{1}{5}\int \nu^{1/3}d\nu = \frac{1}{5}\cdot \frac{\nu^{4/3}}{4/3} + C = \frac{1}{5}\cdot \frac{3}{4}\nu^{4/3}+C = \frac{3}{20}\nu^{4/3}+C. ]
Passo 4: Voltar para (x) [ \frac{3}{20}\nu^{4/3}+C = \frac{3}{20}(7+x^5)^{4/3}+C. ]
Alternativa correta: (A).