Calcule a seguinte integral indefinida

Questão

Calcule a seguinte integral indefinida

Imagem 1

∫(1−x4)1/2x3dx∫ (1 - x^{4})^{1/2} x^{3} dx

Alternativas

A) -1/6 (1 - x^4)^{3/2} + C

99%

B) 1/3 (1 + x^2)^{3/2} + C

C) 1/5 (1 - x^3)^{3/2} + C

D) -1/6 (x^4)^{5/2} + C

Explicação

Queremos calcular

∫(1−x4)1/2 x3 dx\displaystyle \int (1-x^{4})^{1/2}\,x^{3}\,dx.

1) Substituição Tome

u=1−x4  ⇒  du=−4x3 dx  ⇒  x3 dx=−14du.u = 1 - x^4 \;\Rightarrow\; du = -4x^3\,dx \;\Rightarrow\; x^3\,dx = -\frac{1}{4}du.

2) Troca na integral Então:

∫(1−x4)1/2x3dx=∫u1/2(−14du)=−14∫u1/2du.\displaystyle \int (1-x^{4})^{1/2}x^{3}dx = \int u^{1/2}\left(-\frac{1}{4}du\right)= -\frac{1}{4}\int u^{1/2}du.

3) Integração

−14∫u1/2du=−14⋅u3/23/2+C=−14⋅23u3/2+C=−16u3/2+C.\displaystyle -\frac{1}{4}\int u^{1/2}du = -\frac{1}{4}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C = -\frac{1}{6}u^{3/2}+C.

4) Volta para xx Substituindo u=1−x4u=1-x^4:

−16(1−x4)3/2+C.\displaystyle -\frac{1}{6}(1-x^4)^{3/2}+C.

Alternativa correta: (A).

calculointegraismatematicasubstituicao

Questões relacionadas

Ver últimas questões

Comece a estudar de forma inteligente hoje mesmo

Resolva questões de concursos e vestibulares com IA, gere simulados personalizados e domine os conteúdos que mais caem nas provas.

Ter acesso ilimitado

Cancele quando quiser.