Calcule a seguinte integral indefinida

Queremos calcular

$\displaystyle \int (1-x^{4})^{1/2}\,x^{3}\,dx$.

1) Substituição Tome

$u = 1 - x^4 \;\Rightarrow\; du = -4x^3\,dx \;\Rightarrow\; x^3\,dx = -\frac{1}{4}du.$

2) Troca na integral Então:

$\displaystyle \int (1-x^{4})^{1/2}x^{3}dx = \int u^{1/2}\left(-\frac{1}{4}du\right)= -\frac{1}{4}\int u^{1/2}du.$

3) Integração

$\displaystyle -\frac{1}{4}\int u^{1/2}du = -\frac{1}{4}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C = -\frac{1}{6}u^{3/2}+C.$

4) Volta para $x$ Substituindo $u=1-x^4$:

$\displaystyle -\frac{1}{6}(1-x^4)^{3/2}+C.$