Calcule a seguinte integral definida ∫_0^2 (x^2 + 4x) dx

Queremos calcular

$\displaystyle \int_{0}^{2}(x^{2}+4x)\,dx$

1. Encontrando uma primitiva (antiderivada):

• $\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3}$
• $\int 4x\,dx = 2x^{2}$

Logo, uma primitiva é:

$F(x)=\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}$

2. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int_{0}^{2}(x^{2}+4x)\,dx = F(2)-F(0)$

Calculando:

• $F(2)=\frac{2^{3}}{3}+2\cdot 2^{2}=\frac{8}{3}+8=\frac{8}{3}+\frac{24}{3}=\frac{32}{3}$
• $F(0)=0$

Portanto,

$\displaystyle \int_{0}^{2}(x^{2}+4x)\,dx = \frac{32}{3}$.