Seja n um número natural. Calcule a área entre as curvas y = x^n e y = x^{n+1}.

Para encontrar a área entre as curvas, primeiro achamos os pontos de interseção:

$x^n = x^{n+1}\;\Rightarrow\; x^n(1-x)=0$ Logo, as interseções ocorrem em $x=0$ e $x=1$.

No intervalo $0<x<1$, temos $x^{n+1}<x^n$ (pois $x^{n+1}=x\cdot x^n$ e $0<x<1$), então a área é:

$A=\int_0^1 \big(x^n - x^{n+1}\big)\,dx$

Calculando:

$A=\int_0^1 x^n\,dx - \int_0^1 x^{n+1}\,dx$

$A=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 - \left[\frac{x^{n+2}}{n+2}\right]_0^1$

$A=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} = \frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

Como $(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$, resulta:

$A=\frac{1}{n^2+3n+2}$