Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis tais que o produto f(x)g'(x) é integrável. Com respeito a integral indefinida desse produto f(x)g'(x), é correto afirmar que:

Queremos calcular/relacionar a integral indefinida de $f(x)g'(x)$.

Pela regra do produto, para funções deriváveis $f$ e $g$:

$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$

Isolando o termo $f(x)g'(x)$:

$f(x)g'(x) = (f(x)g(x))' - f'(x)g(x).$

Integrando ambos os lados em relação a $x$:

$\int f(x)g'(x)\,dx = \int (f(x)g(x))'\,dx - \int f'(x)g(x)\,dx.$

Como $\int (f(x)g(x))'\,dx = f(x)g(x)$ (absorvendo a constante na integral indefinida), obtemos:

$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx.$

Isso coincide exatamente com a alternativa d.