Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta ∫ ln(2x) dx.

Queremos calcular

$\displaystyle \int \ln(2x)\,dx$.

Use integração por partes, com:

• $u=\ln(2x) \;\Rightarrow\; du=\frac{1}{x}\,dx$ (pois $\frac{d}{dx}\ln(2x)=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$)
• $dv=dx \;\Rightarrow\; v=x$

Então,

$$\int \ln(2x)\,dx = x\ln(2x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(2x) - \int 1\,dx = x\ln(2x) - x + C.$$

Colocando $x$ em evidência:

$$\int \ln(2x)\,dx = x(\ln(2x)-1)+C.$$

Isso corresponde à alternativa (d).