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Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função. No entanto nem sempre a função a ser integrada é uma função elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é preciso lançar mão de estratégias alternativas, como o uso de técnicas de integração. Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta \(\displaystyle \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx\).

Questão

Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função. No entanto nem sempre a função a ser integrada é uma função elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é preciso lançar mão de estratégias alternativas, como o uso de técnicas de integração. Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta ∫ln⁡(x)x dx\displaystyle \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx.

Imagem 1

∫ln⁡(x)x dx\displaystyle \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx

Alternativas

Resposta certa

a) ln^2(x)/2 + C

b) ln^2(x)/2 + C

c) ln(x^2)/2 + C

d) ln(2x)/2 + C

e) ln(x) + C

Explicação

Queremos calcular

∫ln⁡(x)x dx.\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx.

Uma técnica direta aqui é a substituição:

  1. Faça u=ln⁡(x)u=\ln(x). Então
dudx=1x⇒du=1x dx.\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx.
  1. Substituindo na integral:
∫ln⁡(x)x dx=∫u du.\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du.
  1. Integre:
∫u du=u22+C.\int u\,du = \frac{u^2}{2}+C.
  1. Volte para xx:
u22+C=(ln⁡x)22+C.\frac{u^2}{2}+C = \frac{(\ln x)^2}{2}+C.

Isso corresponde à alternativa ln⁡2(x)2+C\dfrac{\ln^2(x)}{2}+C (observação: as alternativas a) e b) estão idênticas; escolhendo a primeira ocorrência, a letra a).

calculointegraismatematicasubstituicao
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