Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis tais que o produto f(x)g'(x) é integrável. Com respeito à integral indefinida desse produto f(x)g'(x), é correto afirmar que:

Queremos uma expressão para a integral indefinida de $f(x)g'(x)$.

Use a regra do produto na derivação:

$$\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$$

Isolando o termo $f(x)g'(x)$:

$$f(x)g'(x)=\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)-f'(x)g(x).$$

Integrando ambos os lados em relação a $x$:

$$\int f(x)g'(x)\,dx = \int \frac{d}{dx}(f(x)g(x))\,dx - \int f'(x)g(x)\,dx.$$

Como $\int \frac{d}{dx}(f(x)g(x))\,dx = f(x)g(x)$ (até constante), obtemos a fórmula de integração por partes:

$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx.$$

Logo, a alternativa correta é a (c).