Uma das aplicações da integral é o cálculo de áreas. Uma representação geométrica da integral diz que se f é uma função que assume valores positivos, então o valor da integral de f é igual ao valor da área compreendida entre a função e o eixo x. Calcule a área delimitada pelo gráfico da função y = x^2 - x e pelo eixo x.

Queremos a área delimitada pelo gráfico de $y=x^2-x$ e o eixo $x$.

1. Achar as interseções com o eixo $x$ (raízes):

$$x^2-x = x(x-1)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ ou } x=1.$$

Logo, a região limitada com o eixo $x$ ocorre entre $x=0$ e $x=1$.

2. Ver o sinal da função no intervalo: Para $0<x<1$, temos $x>0$ e $(x-1)<0$, então $x(x-1)<0$. Assim, $f(x)=x^2-x$ é negativa em $(0,1)$, ou seja, o gráfico fica abaixo do eixo $x$.

3. Área = integral do módulo (ou trocar o sinal):

$$A=\int_0^1 |x^2-x|\,dx = -\int_0^1 (x^2-x)\,dx = \int_0^1 (x-x^2)\,dx.$$

4. Calcular a integral:

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-0 =\frac{1}{6}.$$