Alguns problemas de integração, incluindo os problemas de aplicação onde é calculada a área limitada pela função, podem apresentar funções conhecidas como integrais impróprias. Como exemplo, temos uma partícula que se desloca sobre o eixo x, com a velocidade representada pela função v(t) = 3 - t, com t em minutos. Com relação às informações acima, analise as afirmações a seguir. I. O espaço percorrido depende da análise do gráfico se há valores abaixo do eixo X. II. O deslocamento da partícula entre os momentos t = 1 e t = 2 é zero. III. O deslocamento percorrido por essa partícula é representado por 3t - t^2/2. IV. O espaço percorrido pela partícula nos primeiros 4 minutos é 3. Está correto o que se afirma em:

Temos a velocidade (em função do tempo):

$v(t)=3-t.$

O deslocamento no intervalo $[a,b]$ é dado por:

$\Delta s=\int_a^b v(t)\,dt.$

Já o espaço percorrido (distância total) no intervalo depende do módulo da velocidade:

$\text{espaço} = \int_a^b |v(t)|\,dt,$

ou seja, se $v(t)$ ficar negativa (gráfico abaixo do eixo $t$), isso muda o cálculo do espaço.

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Análise das afirmações

I. O espaço percorrido depende da análise do gráfico se há valores abaixo do eixo X.

Verdadeiro. Como o espaço percorrido usa $|v(t)|$, quando a velocidade muda de sinal (passa para valores negativos), é preciso separar intervalos e considerar a área positiva (em módulo).

II. O deslocamento da partícula entre os momentos $t=1$ e $t=2$ é zero.

Falso. Vamos calcular:

$\int_1^2 (3-t)\,dt = \left[3t-\frac{t^2}{2}\right]_1^2.$

Em $t=2$: $3\cdot 2-\frac{4}{2}=6-2=4$.

Em $t=1$: $3\cdot 1-\frac{1}{2}=3-0{,}5=2{,}5$.

Logo:

$\Delta s = 4-2{,}5=1{,}5 \neq 0.$

III. O deslocamento percorrido por essa partícula é representado por $3t-\dfrac{t^{2}}{2}$.

Verdadeiro. Essa é uma primitiva de $v(t)$, pois:

$\frac{d}{dt}\left(3t-\frac{t^2}{2}\right)=3-t=v(t).$

(Obs.: a posição seria $s(t)=3t-\frac{t^2}{2}+C$, mas a expressão dada representa a integral indefinida sem a constante.)

IV. O espaço percorrido pela partícula nos primeiros 4 minutos é 3.

Falso. De $t=0$ até $t=3$, $v(t)>0$; de $t=3$ até $t=4$, $v(t)<0$.

Então o espaço é:

$\int_0^4 |3-t|\,dt = \int_0^3 (3-t)\,dt + \int_3^4 (t-3)\,dt.$

Primeira parte:

$\int_0^3 (3-t)dt = \left[3t-\frac{t^2}{2}\right]_0^3 = 9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5.$

Segunda parte:

$\int_3^4 (t-3)dt = \left[\frac{t^2}{2}-3t\right]_3^4 = (8-12) - (4{,}5-9) = -4 - (-4{,}5)=0{,}5.$

Total:

$4{,}5+0{,}5=5 \neq 3.$

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Conclusão: verdadeiras apenas I e III.