Considere a função f(x) = log(x) e seja A o valor da área delimitada pelo gráfico da função f(x) e pelas retas x = 1/e, x = e e y = 0.

Queremos a área delimitada por $y=\log(x)$, pelas retas verticais $x=\frac1e$ e $x=e$, e pelo eixo $x$ (isto é, $y=0$).

1. Pontos importantes

• $\log(x)=0 \iff x=1$.
• Em $\left(\frac1e,1\right)$, temos $\log(x)<0$ (gráfico abaixo do eixo $x$).
• Em $\left(1,e\right)$, temos $\log(x)>0$ (gráfico acima do eixo $x$).

Então a área total é a soma das áreas em módulo:

$$A=\int_{1/e}^{1} \big(0-\log(x)\big)\,dx+\int_{1}^{e} \big(\log(x)-0\big)\,dx = -\int_{1/e}^{1} \log(x)\,dx+\int_{1}^{e} \log(x)\,dx.$$

2. Primitiva Uma primitiva de $\log(x)$ (logaritmo natural) é:

$$\int \log(x)\,dx = x\log(x)-x + C.$$

3. Cálculo das integrais Defina $F(x)=x\log(x)-x$.

• $\displaystyle \int_{1}^{e} \log(x)\,dx = F(e)-F(1)$

  • $F(e)= e\cdot 1 - e = 0$
  • $F(1)= 1\cdot 0 - 1 = -1$ Logo, $\int_{1}^{e} \log(x)\,dx = 0-(-1)=1$.

• $\displaystyle \int_{1/e}^{1} \log(x)\,dx = F(1)-F(1/e)$

  • $F(1)=-1$
  • $F(1/e)= \frac1e\log\left(\frac1e\right) - \frac1e = \frac1e(-1)-\frac1e = -\frac{2}{e}$ Logo, $\int_{1/e}^{1} \log(x)\,dx = -1 -\left(-\frac{2}{e}\right)= -1+\frac{2}{e}$.

Assim,

$$A= -\left(-1+\frac{2}{e}\right)+1 = \left(1-\frac{2}{e}\right)+1 = 2-\frac{2}{e} = \frac{2e-2}{e}.$$