Os octógonos regulares têm 8 lados de mesmo tamanho e cada um de seus ângulos internos é de 135°. Hoje, o octógono é utilizado para a construção de placas PARE, que auxiliam no trânsito, e ringues de MMA. O octógono ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura. Então, é correto afirmar que a área do quadrado PQRS é

No desenho, o octógono regular é obtido “cortando” os quatro cantos do quadrado por triângulos retângulos isósceles.

Seja $L$ o lado do quadrado e seja $x$ a distância do vértice do quadrado até o ponto onde o octógono toca o lado (por exemplo, no canto inferior esquerdo, $PA=x$ e $PG=x$).

• O lado inclinado do octógono (por exemplo, $\overline{HA}$) é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos $x$ e $x$. Logo $HA = x\sqrt{2}.$ Como o octógono é regular e tem lado 1 dm, então $x\sqrt{2}=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

• O lado horizontal inferior do octógono é $\overline{AB}$, que vale 1 dm. Mas $AB$ também é o lado do quadrado menos os dois “pedaços” cortados nos cantos: $AB = L - 2x.$ Assim, $1 = L - 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=L-\sqrt{2}\;\Rightarrow\; L=1+\sqrt{2}.$

• A área do quadrado é $L^2=(1+\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}\text{ dm}^2.$