Na figura, estão representados geometricamente pontos do plano cartesiano (x, y). Ligando esses pontos por meio de segmentos de retas obtém-se a seguinte região limitada do plano. Se a unidade de medida é dada em centímetros e π = 3,1416, a área dessa região em milímetros quadrados (mm²) é:

Vamos decompor a região em partes simples (unidade no eixo: cm).

1) Parte poligonal à esquerda (até x=5) Percurso: $O(0,0) \to A(0,2) \to B(2,2) \to C(2,4) \to D(5,4) \to$ (depois segue o arco). A região à esquerda de $x=5$ é o polígono $OABCDG$ (fechando em $G(2,0)$ e voltando a $O$). Podemos calcular sua área por decomposição:

• Retângulo $0\le x\le 2$, $0\le y\le 2$: área $2\cdot 2=4$.
• Retângulo $2\le x\le 5$, $0\le y\le 4$: área $3\cdot 4=12$.
• Subtrair o “vazio” acima de $y=2$ entre $x=2$ e a reta $CD$. A reta $CD$ liga $C(2,4)$ a $D(5,4)$, ou seja, é horizontal em $y=4$, então não há vazio nesse trecho (topo é $y=4$ constante). Mas atenção: entre $x=0$ e $x=2$, o topo é $y=2$; entre $x=2$ e $x=5$, o topo é $y=4$. Logo, área poligonal = $A_\text{esq}= (2\cdot 2) + (3\cdot 4)=4+12=16\text{ cm}^2.$

2) Parte curva à direita (arco semicircular de D a F) O arco pertence ao círculo $(x-5)^2+(y-2)^2=4,$ logo o raio é $r=2$ cm e o centro é $(5,2)$. Os pontos extremos dados são $D(5,4)$ e $F(5,0)$, que são exatamente os pontos superior e inferior do círculo (verticalmente alinhados com o centro). A condição “parte com $x\ge 5$” indica que é a semicircunferência da direita (meio círculo à direita do diâmetro vertical $x=5$). Assim, a região acrescentada à direita de $x=5$ é um semicírculo de raio 2. Área do semicírculo: $A_\text{semi}=\frac{1}{2}\pi r^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 4=2\pi.$ Com $\pi=3{,}1416$: $A_\text{semi}=2\cdot 3{,}1416=6{,}2832\text{ cm}^2.$

3) Área total em cm² $A_\text{total}=16+6{,}2832=22{,}2832\text{ cm}^2.$

4) Converter para mm² Como $1\text{ cm}=10\text{ mm}$, então $1\text{ cm}^2=100\text{ mm}^2$. $22{,}2832\text{ cm}^2 = 22{,}2832\cdot 100=2228{,}32\text{ mm}^2.$

Portanto, a área vale 2228,32 mm².

Alternativa correta: (sem alternativas fornecidas).