Uma rede de lanchonete resolveu abrir o seu capital para angariar mais fundos para investir na abertura de mais filiais pelo país. A quantidade de afiliados no início da semana z é dada pela função Q(z) = 100(64+4z)^{2/3} (0 ≤ z ≤ 52). a) Determine a declividade da reta que tangencia a função Q. b) Com que celeridade o número de afiliados da rede de lanchonetes estava aumentando inicialmente (z = 0)? c) Com que celeridade o número de afiliados da rede estava aumentando no início da 40ª semana? d) Qual era o número de afiliados quando a rede foi aberta? E no início da 40ª semana?

a) A declividade (coeficiente angular) da reta tangente é a derivada de $Q$:

$Q(z)=100(64+4z)^{2/3}$

Pela regra da cadeia:

$Q'(z)=100\cdot \frac{2}{3}(64+4z)^{-1/3}\cdot 4$

Logo,

$\boxed{Q'(z)=\frac{800}{3}(64+4z)^{-1/3}}$

b) A celeridade inicial é $Q'(0)$:

$Q'(0)=\frac{800}{3}(64)^{-1/3}$

Como $\sqrt[3]{64}=4$, então $64^{-1/3}=\frac{1}{4}$:

$Q'(0)=\frac{800}{3}\cdot \frac{1}{4}=\boxed{\frac{200}{3}}\approx \boxed{66{,}67}$

Isto é, aproximadamente $66{,}67$ afiliados por semana no início.

c) No início da 40ª semana, isto é, em $z=40$:

$Q'(40)=\frac{800}{3}(64+4\cdot 40)^{-1/3}=\frac{800}{3}(224)^{-1/3}$

Como $224=64\cdot 3{,}5$, então

$\sqrt[3]{224}=\sqrt[3]{64}\,\sqrt[3]{3{,}5}=4\sqrt[3]{3{,}5}$

Logo,

$Q'(40)=\frac{800}{3}\cdot \frac{1}{4\sqrt[3]{3{,}5}}=\boxed{\frac{200}{3\sqrt[3]{3{,}5}}}$

Valor aproximado: $\sqrt[3]{3{,}5}\approx 1{,}518$.

$Q'(40)\approx \frac{200}{3\cdot 1{,}518}=\boxed{43{,}9}$

Ou seja, cerca de $43{,}9$ afiliados por semana no início da 40ª semana.

d) Número de afiliados quando a rede foi aberta: $z=0$.

$Q(0)=100(64)^{2/3}$

Como $(64)^{2/3}=(\sqrt[3]{64})^2=4^2=16$:

$Q(0)=100\cdot 16=\boxed{1600}$

No início da 40ª semana: $z=40$.

$Q(40)=100(64+160)^{2/3}=100(224)^{2/3}$

Como $224=64\cdot 3{,}5$:

$(224)^{2/3}=(64)^{2/3}(3{,}5)^{2/3}=16\,(3{,}5)^{2/3}$

Então

$Q(40)=100\cdot 16\,(3{,}5)^{2/3}=\boxed{1600\,(3{,}5)^{2/3}}$

Aproximando: $(3{,}5)^{2/3}=(\sqrt[3]{3{,}5})^2\approx (1{,}518)^2\approx 2{,}305$.

$Q(40)\approx 1600\cdot 2{,}305\approx \boxed{3688}$

Portanto, eram cerca de $1600$ afiliados na abertura e cerca de $3688$ afiliados no início da 40ª semana.