Calcule f^{(n)} (derivadas sucessivas) das funções abaixo: a) f(x) = 5x^3 + 16x^2 - 185x + 87 b) f(x) = 12x^4 + 7x^3 - 32x^2 + 1 c) f(x) = -62x^3 d) f(x) = -33x^4 + 120x^2

Para obter as derivadas sucessivas, aplicamos repetidamente a regra da potência:

Se $f(x)=ax^k$, então $f'(x)=akx^{k-1}$. Derivadas de constantes viram $0$. Como todas as funções dadas são polinômios, após derivar tantas vezes quanto o maior grau, a derivada vira constante e, na derivada seguinte, vira $0$.

a) $f(x)=5x^3+16x^2-185x+87$

1. $f'(x)=15x^2+32x-185$ (derivando termo a termo)
2. $f''(x)=30x+32$
3. $f^{(3)}(x)=30$
4. Para $n\ge 4$, derivamos uma constante ($30$), então $f^{(n)}(x)=0$.

b) $f(x)=12x^4+7x^3-32x^2+1$

1. $f'(x)=48x^3+21x^2-64x$
2. $f''(x)=144x^2+42x-64$
3. $f^{(3)}(x)=288x+42$
4. $f^{(4)}(x)=288$
5. Para $n\ge 5$, derivada de constante é $0$, então $f^{(n)}(x)=0$.

c) $f(x)=-62x^3$

1. $f'(x)=-186x^2$
2. $f''(x)=-372x$
3. $f^{(3)}(x)=-372$
4. Para $n\ge 4$, $f^{(n)}(x)=0$.

d) $f(x)=-33x^4+120x^2$

1. $f'(x)=-132x^3+240x$
2. $f''(x)=-396x^2+240$
3. $f^{(3)}(x)=-792x$
4. $f^{(4)}(x)=-792$
5. Para $n\ge 5$, $f^{(n)}(x)=0$.

Como não há alternativas, não se aplica “alternativa correta”.