Uma rede de lanchonete resolveu abrir o seu capital para angariar mais fundos para investir na abertura de mais filiais pelo país. A quantidade de afiliados no início da semana z é dada pela função $Q(z)=100(64+4z)^{2/3}$ (0 \le z \le 52). a) Determine a declividade da reta que tangencia a função Q. b) Com que celeridade o número de afiliados da rede de lanchonetes estava aumentando inicialmente (z = 0)? c) Com que celeridade o número de afiliados da rede estava aumentando no início da 40ª semana? d) Qual era o número de afiliados quando a rede foi aberta? E no início da 40ª semana?

Temos $Q(z)=100(64+4z)^{2/3}$, com $0\le z\le 52$. A declividade da reta tangente em um ponto é a derivada $Q'(z)$.

a) Declividade da reta tangente (derivada)

Pela regra da cadeia:

$$Q'(z)=100\cdot \frac{2}{3}(64+4z)^{-1/3}\cdot (4)$$

Multiplicando as constantes:

$$Q'(z)=\frac{800}{3}(64+4z)^{-1/3}.$$

Essa é a declividade da reta tangente a $Q$ no ponto de abscissa $z$ (em unidades: afiliados por semana).

b) Celeridade inicial (em $z=0$)

$$Q'(0)=\frac{800}{3}(64)^{-1/3}.$$

Como $64^{1/3}=4$, então $64^{-1/3}=\frac{1}{4}$:

$$Q'(0)=\frac{800}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{200}{3}\approx 66{,}67.$$

Logo, inicialmente o número de afiliados aumentava a uma taxa de $\frac{200}{3}\approx 66{,}67$ afiliados/semana.

c) Celeridade no início da 40ª semana

No início da 40ª semana, tomamos $z=40$.

$$Q'(40)=\frac{800}{3}(64+4\cdot 40)^{-1/3}=\frac{800}{3}(224)^{-1/3}.$$

Podemos simplificar $224=64\cdot 3{,}5$, então

$$224^{1/3}=64^{1/3}(3{,}5)^{1/3}=4(3{,}5)^{1/3} \Rightarrow 224^{-1/3}=\frac{1}{4(3{,}5)^{1/3}}.$$

Assim:

$$Q'(40)=\frac{800}{3}\cdot \frac{1}{4(3{,}5)^{1/3}}=\frac{200}{3(3{,}5)^{1/3}}.$$

Aproximando: $(3{,}5)^{1/3}\approx 1{,}518$.

$$Q'(40)\approx \frac{200}{3\cdot 1{,}518}=\frac{200}{4{,}554}\approx 43{,}9.$$

Logo, no início da 40ª semana a taxa era aproximadamente $43{,}9$ afiliados/semana.

d) Número de afiliados na abertura (z=0) e no início da 40ª semana (z=40)

Na abertura ($z=0$)

$$Q(0)=100(64)^{2/3}.$$

Como $64^{1/3}=4$, então $64^{2/3}=4^2=16$:

$$Q(0)=100\cdot 16=1600.$$

No início da 40ª semana ($z=40$)

$$Q(40)=100(64+4\cdot 40)^{2/3}=100(224)^{2/3}.$$

Usando $224=64\cdot 3{,}5$:

$$224^{2/3}=(64^{2/3})(3{,}5)^{2/3}=16\,(3{,}5)^{2/3}.$$

Então:

$$Q(40)=100\cdot 16\,(3{,}5)^{2/3}=1600(3{,}5)^{2/3}.$$

Aproximando: $(3{,}5)^{2/3}=\big((3{,}5)^{1/3}\big)^2\approx (1{,}518)^2\approx 2{,}305$.

$$Q(40)\approx 1600\cdot 2{,}305\approx 3688.$$

Portanto, aproximadamente $3688$ afiliados no início da 40ª semana.

Resumo numérico:

• $Q(0)=1600$ afiliados.
• $Q(40)\approx 3688$ afiliados.
• $Q'(0)=\frac{200}{3}\approx 66{,}67$ afiliados/semana.
• $Q'(40)\approx 43{,}9$ afiliados/semana.

Alternativa correta: (não se aplica).