Seja f(x) uma função derivável. Com relação ao comportamento da função f(x), é correto afirmar que:

Vamos analisar cada alternativa usando resultados básicos de Cálculo sobre derivadas e monotonicidade.

a) Se $f'(x) < 0$ em $I$, então $f$ é decrescente em $I$, não crescente. Falsa.

b) Ter $f'(x_0)=0$ é condição necessária para extremo local (quando a derivada existe), mas não é suficiente. Exemplo: $f(x)=x^3$ tem $f'(0)=0$ e não tem mínimo nem máximo local em $0$. Falsa.

c) Se $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)>0$, então $x_0$ é mínimo local (teste da 2ª derivada), mas não necessariamente mínimo global. Exemplo: $f(x)=x^2$ em geral tem mínimo global em 0, mas em uma função como $f(x)=x^2 + \sin x$, pode haver mínimo local sem ser global. Logo, a afirmação “global” é forte demais. Falsa.

d) Se $f'(x_0)=f''(x_0)=0$, não dá para concluir que não é extremo. Exemplo: $f(x)=x^4$ tem $f'(0)=0$ e $f''(0)=0$ e ainda assim $0$ é mínimo local. Falsa.

e) Se $f'(x) < 0$ para todo $x$ em um intervalo $I$, então $f$ é estritamente decrescente em $I$ (derivada negativa implica função decrescente). Verdadeira.