Considere a função f(x) = x^2 (ln(x + e) - 1). Com respeito às características do ponto x = 0, é correto afirmar que:

Temos

$$f(x)=x^2\,(\ln(x+e)-1),\quad \text{domínio: } x>-e.$$

1) Verificar se $x=0$ é ponto crítico

Derivando (regra do produto):

$$f'(x)=2x(\ln(x+e)-1)+x^2\cdot\frac{1}{x+e}.$$

Em $x=0$:

$$f'(0)=2\cdot 0\,(\ln(e)-1)+0^2\cdot\frac{1}{e}=0.$$

Logo, $x=0$ é ponto crítico. Portanto, a alternativa (d) é falsa.

2) Classificar o ponto $x=0$ via derivada segunda

Vamos calcular $f''(0)$ (basta derivar $f'(x)$ e avaliar em 0).

Escreva

$$f'(x)=2x(\ln(x+e)-1)+\frac{x^2}{x+e}.$$

Derivando o primeiro termo:

$$\frac{d}{dx}\bigl[2x(\ln(x+e)-1)\bigr]=2(\ln(x+e)-1)+2x\cdot\frac{1}{x+e}.$$

Derivando o segundo termo (quociente):

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x+e}\right)=\frac{2x(x+e)-x^2}{(x+e)^2}=\frac{x^2+2ex}{(x+e)^2}.$$

Assim,

$$f''(x)=2(\ln(x+e)-1)+\frac{2x}{x+e}+\frac{x^2+2ex}{(x+e)^2}.$$

Avaliando em $x=0$:

$$f''(0)=2(\ln(e)-1)+0+0=2(1-1)=0.$$

Como $f''(0)=0$, o teste usual de mínimo/máximo pela segunda derivada é inconclusivo.

3) Verificar concavidade (sinal de $f''$) perto de $0$

Vamos analisar $f''(x)$ para $x$ pequeno. Defina $u=x+e$ e use que

$$\ln(e+x)=\ln\bigl(e(1+x/e)\bigr)=1+\ln(1+x/e).$$

Logo,

$$2(\ln(e+x)-1)=2\ln(1+x/e).$$

Para $|x|$ pequeno, vale a expansão

$$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3).$$

Com $t=x/e$:

$$2\ln(1+x/e)=2\left(\frac{x}{e}-\frac{x^2}{2e^2}+O(x^3)\right)=\frac{2x}{e}-\frac{x^2}{e^2}+O(x^3).$$

Além disso,

$$\frac{2x}{x+e}=\frac{2x}{e}\cdot\frac{1}{1+x/e}=\frac{2x}{e}\left(1-\frac{x}{e}+O(x^2)\right)=\frac{2x}{e}-\frac{2x^2}{e^2}+O(x^3),$$

e

$$\frac{x^2+2ex}{(x+e)^2}=\frac{2ex+x^2}{e^2}\cdot\frac{1}{(1+x/e)^2}= \left(\frac{2x}{e}+\frac{x^2}{e^2}\right)\left(1-\frac{2x}{e}+O(x^2)\right)=\frac{2x}{e}-\frac{3x^2}{e^2}+O(x^3).$$

Somando as três partes:

$$f''(x)=\left(\frac{2x}{e}+\frac{2x}{e}+\frac{2x}{e}\right)+\left(-\frac{x^2}{e^2}-\frac{2x^2}{e^2}-\frac{3x^2}{e^2}\right)+O(x^3) =\frac{6x}{e}-\frac{6x^2}{e^2}+O(x^3).$$

O termo dominante perto de 0 é linear:

$$f''(x)\approx \frac{6}{e}x.$$

Portanto:

• se $x<0$ (próximo de 0), $f''(x)<0$ → concavidade para baixo;
• se $x>0$ (próximo de 0), $f''(x)>0$ → concavidade para cima.

Como a concavidade muda ao atravessar $x=0$, concluímos que $x=0$ é ponto de inflexão.

Além disso, como $f'(0)=0$, é um ponto de inflexão com tangente horizontal.