Polinômios são considerados funções bastante simples, mas possuem propriedades bastante interessantes. São bem definidos, contínuos e deriváveis em toda a reta, e existem séries de polinômios que podem aproximar a maior parte das funções reais. Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem 2 utilizado para aproximar a função f(x)=e^{nx} para algum x, utilizando como referência o ponto a.

Questão

Polinômios são considerados funções bastante simples, mas possuem propriedades bastante interessantes. São bem definidos, contínuos e deriváveis em toda a reta, e existem séries de polinômios que podem aproximar a maior parte das funções reais.

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem 2 utilizado para aproximar a função f(x)=e^{nx} para algum x, utilizando como referência o ponto a.

Imagem 1

f(x)=enxf(x)=e^{nx}

Alternativas

a) T(x) = n e^{a}(x-a) + \tfrac{1}{2} n^{2} e^{a}(x-a)^{2}

Resposta certa

b) T(x) = e^{na} + n e^{na}(x-a) + \tfrac{1}{2} n^{2} e^{na}(x-a)^{2}

c) T(x) = e^{a} + n e^{a}(x-a) + \tfrac{1}{2} n^{2} e^{a}(x-a)^{2}

d) T(x) = n^{3} e^{na} + n e^{na}(x-a) + \tfrac{1}{2} n^{2} e^{a}(x-a)^{2}

e) T(x) = e^{nx} + n e^{nx}(x-a) + \tfrac{1}{2} n^{2} e^{nx}(x-a)^{2}

Explicação

Queremos o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x)=enxf(x)=e^{nx} em torno de aa.

A fórmula é

T2(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2(x−a)2.T_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2.

Calculando as derivadas:

  • f(x)=enxf(x)=e^{nx}
  • f′(x)=nenxf'(x)=n e^{nx} (regra da cadeia)
  • f′′(x)=n⋅(nenx)=n2enxf''(x)=n\cdot (n e^{nx})=n^2 e^{nx}

Agora avaliando em x=ax=a:

  • f(a)=enaf(a)=e^{na}
  • f′(a)=nenaf'(a)=n e^{na}
  • f′′(a)=n2enaf''(a)=n^2 e^{na}

Substituindo na expressão de Taylor:

T2(x)=ena+nena(x−a)+n2ena2(x−a)2.T_2(x)=e^{na}+n e^{na}(x-a)+\frac{n^2 e^{na}}{2}(x-a)^2.

Isso coincide exatamente com a alternativa (b).

calculomatematicapolinomiosseries-de-taylor
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