Aproximações de funções são muito úteis em matemática computacional. Para certas funções, é muito mais simples trabalhar com um polinômio do que com outras funções cuja regra de composição seja mais complicada. Isso é especialmente útil para trabalhar com computadores, pois eles podem calcular polinômios com extrema agilidade. Assinale a alternativa que apresenta o polinômio de Taylor de ordem n utilizado para aproximar a função f(x) = e^x no ponto x, utilizando como referência o ponto a.

Para o polinômio de Taylor de ordem $n$ de uma função $f(x)$ em torno de $a$, usamos a fórmula geral:

$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$

Aqui, $f(x)=e^x$. Note que todas as derivadas de $e^x$ são a própria função:

• $f'(x)=e^x$
• $f''(x)=e^x$
• ...
• $f^{(k)}(x)=e^x$

Logo, avaliando em $a$:

$f^{(k)}(a)=e^a.$

Substituindo na fórmula do Taylor:

$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{e^a}{k!}(x-a)^k,$

que coincide exatamente com a alternativa (d).