Um fabricante de garrafas, ao analisar o ritmo da sua produção, observou que suas máquinas produziam, aproximadamente, uma quantidade de garrafas segundo a lei da função G(t) = 200 + 80·sen( (π t)/6 + 3π/2 ), onde G(t) representa o número de garrafas produzidas no tempo t em horas. Qual é a produção mínima das máquinas dessa fábrica e em quais horários do dia essa produção ocorre?

Temos $G(t)=200+80\sin\left(\frac{\pi t}{6}+\frac{3\pi}{2}\right).$

1. Produção mínima A função seno varia em $[-1,1]$. Logo, o valor mínimo de $G(t)$ ocorre quando $\sin\left(\frac{\pi t}{6}+\frac{3\pi}{2}\right)=-1.$ Assim, $G_{\min}=200+80(-1)=120.$

2. Instantes (horários) em que ocorre o mínimo Precisamos resolver: $\sin\left(\frac{\pi t}{6}+\frac{3\pi}{2}\right)=-1.$ O seno vale $-1$ quando o argumento é $\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$ Então:

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