Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto. Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos. A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto. Considere 1,7 como aproximação para √3. Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?

1. Altura da carga (empilhamento) acima da carroceria

• Há dois canos embaixo e um cano em cima, tangente aos dois inferiores.
• O centro de cada cano inferior está a $r$ acima da carroceria.
• A distância horizontal entre os centros dos canos inferiores é $2r$ (tangência).
• O centro do cano superior fica exatamente no meio (horizontalmente), então a distância horizontal do centro superior a um centro inferior é $r$.
• Como os canos são tangentes, a distância entre centros (superior e inferior) é $2r$.

Formando um triângulo retângulo com hipotenusa $2r$, cateto horizontal $r$ e cateto vertical $h$: $h=\sqrt{(2r)^2-r^2}=\sqrt{4r^2-r^2}=\sqrt{3r^2}=r\sqrt{3}.$ Logo, a altura do centro superior acima da carroceria é: $r + r\sqrt{3}.$ A altura total da carga acima da carroceria é (do apoio até o topo do cano superior): $H_{carga}=(r + r\sqrt{3}) + r = 2r + r\sqrt{3}.$

Com $r=0,60$ m e $\sqrt{3}\approx 1,7$: $H_{carga}=2(0,60)+0,60\cdot 1,7=1,20+1,02=2,22\text{ m}.$

2. Altura total do caminhão com a carga A parte superior da carroceria está a 1,30 m do solo, então: $H_{total}=1,30+2,22=3,52\text{ m}.$

3. Margem de segurança A altura total deve ser, no mínimo, 0,50 m menor que o vão do viaduto, isto é: $H_{viaduto}\ge H_{total}+0,50=3,52+0,50=4,02\text{ m}.$

4. Escolha da alternativa O valor mínimo calculado é 4,02 m. Como a pergunta pede a altura mínima e as opções estão discretizadas, a menor altura de viaduto dentre as alternativas que garante pelo menos 4,02 m é 4,20 m.

Alternativa correta: (E).