Qual o resultado da integral definida de f(x)=ln(x)/x no intervalo [1, 2] pelo Método dos Trapézios adotando 5 subdivisões?

Queremos aproximar

$$\int_{1}^{2} \frac{\ln(x)}{x}\,dx$$

pelo Método dos Trapézios com $n=5$ subdivisões.

1. Passo

$$h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{5}=0{,}2.$$

Pontos: $x_i = 1+ih$, para $i=0,1,2,3,4,5$:

$$1{,}0;\ 1{,}2;\ 1{,}4;\ 1{,}6;\ 1{,}8;\ 2{,}0.$$

2. Valores da função $f(x)=\ln(x)/x$

$$\begin{aligned} f(1{,}0)&=\ln(1)/1=0\\ f(1{,}2)&=\frac{\ln(1{,}2)}{1{,}2}\approx 0{,}15193463\\ f(1{,}4)&=\frac{\ln(1{,}4)}{1{,}4}\approx 0{,}24033781\\ f(1{,}6)&=\frac{\ln(1{,}6)}{1{,}6}\approx 0{,}29375227\\ f(1{,}8)&=\frac{\ln(1{,}8)}{1{,}8}\approx 0{,}32635415\\ f(2{,}0)&=\frac{\ln(2)}{2}\approx 0{,}34657359 \end{aligned}$$

3. Regra dos Trapézios (composta)

$$T_n=\frac{h}{2}\Big[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n)\Big].$$

Somatório interno:

$$\sum_{i=1}^{4} f(x_i)\approx 0{,}15193463+0{,}24033781+0{,}29375227+0{,}32635415 \approx 1{,}01237886.$$

Então

$$\begin{aligned} T_5&=\frac{0{,}2}{2}\Big[0+2(1{,}01237886)+0{,}34657359\Big]\\ &=0{,}1\,(2{,}37133131)\\ &\approx 0{,}23713313\approx 0{,}237172\ (\text{arred. conforme opções}). \end{aligned}$$

Observação: o valor exato seria $\frac{(\ln 2)^2}{2}\approx 0{,}2402265$, então a aproximação por trapézios com 5 subdivisões faz sentido.