Calcule a seguinte integral definida \(\displaystyle\int_{1}^{2}(1-2x^{2})\,dx\)

Vamos calcular a integral definida:

$\int_{1}^{2}(1-2x^{2})\,dx$

1. Encontrar uma primitiva (antiderivada) de $1-2x^2$:

$\int (1-2x^2)\,dx = \int 1\,dx -2\int x^2\,dx = x -2\cdot \frac{x^3}{3} = x - \frac{2x^3}{3}.$

2. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (avaliar de 1 a 2):

$\left[x-\frac{2x^3}{3}\right]_{1}^{2} = \left(2-\frac{2\cdot 2^3}{3}\right) - \left(1-\frac{2\cdot 1^3}{3}\right).$

3. Calcular cada termo:

• Em $x=2$: $2-\frac{2\cdot 8}{3}=2-\frac{16}{3}=\frac{6}{3}-\frac{16}{3}=-\frac{10}{3}.$

• Em $x=1$: $1-\frac{2\cdot 1}{3}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$

4. Subtrair:

$-\frac{10}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{11}{3}.$