50. A figura a seguir ilustra um dos algoritmos utilizados para multiplicar números. A letra A representa um mesmo algarismo que é diferente de 2, de 8 e do algarismo representado pela letra B. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva entre A e B é igual a

Da figura, temos a multiplicação em coluna:

$AB2\times B = AA28$

Interpretando os números:

• $AB2 = 100A + 10B + 2$
• $AA28 = 1000A + 100A + 20 + 8 = 1100A + 28$

Logo: $B(100A+10B+2)=1100A+28$ $100AB + 10B^2 + 2B = 1100A + 28$

Como $A$ e $B$ são algarismos (0 a 9) e $A\neq 2,8$ e $A\neq B$.

Vamos analisar pelas colunas (método da multiplicação):

1. Unidade: $2\times B$ termina em 8. $2B \equiv 8\pmod{10} \Rightarrow B\in\{4,9\}$

2. Se $B=4$, então $2\times 4=8$ sem vai-um. Na dezena: $4\times B = 4\times 4=16$, então a dezena seria 6, mas no resultado é 2. Contradição.

3. Portanto $B=9$. Então $2\times 9=18$, fica 8 e vai 1. Na dezena: $9\times B + 1 = 9\times 9 + 1 = 82$, fica 2 e vai 8 (bate com o 2 do resultado).

4. Centena: $9\times A + 8$ deve terminar em $A$ (pois o resultado tem $AA28$). $9A+8 \equiv A\pmod{10} \Rightarrow 8A+8 \equiv 0\pmod{10}$ $8(A+1) \equiv 0\pmod{10}$ Como $\gcd(8,10)=2$, isso equivale a: $4(A+1) \equiv 0\pmod{5} \Rightarrow A+1 \equiv 0\pmod{5}$ Logo $A\in\{4,9\}$. Mas $A\neq B$ e $B=9$, então $A=4$.

Verificação final: $492\times 9 = 4428$ (confere).

Diferença positiva: $|A-B|=|4-9|=5$.

Como a alternativa correta deve ser marcada, a diferença positiva é 5.