Considere ondas internas em um fluido estratificado com frequência de Brunt-Väisälä N. A equação geral para a dispersão dessas ondas, considerando a rotação, será \(\omega^2 = \dfrac{N^2 k_h^2 + f^2 n^2}{k_h^2 + n^2}\) Onde \(k_h = \sqrt{l^2 + m^2}\) é o número de onda horizontal. a) Mostre que, quando \(N \gg f\), a frequência \(\omega\) é limitada ao intervalo \(f \le \omega \le N\). b) Para ondas com \(k_h \ll n\), ou seja, ondas de grande escala (marés internas por exemplo) e a componente vertical torna-se dominante, como se simplifica a relação de dispersão?

A questão pede (a) o intervalo de valores possíveis de $\omega$ quando $N\gg f$, e (b) a aproximação quando a componente vertical do número de onda domina ($k_h\ll n$).

(a) Limites para $\omega$

Partimos da relação de dispersão:

$$\omega^2=\frac{N^2k_h^2+f^2n^2}{k_h^2+n^2}.$$

Reescrevendo para evidenciar os “pesos”:

$$\omega^2=\frac{k_h^2}{k_h^2+n^2}N^2+\frac{n^2}{k_h^2+n^2}f^2.$$

Como $k_h^2\ge 0$ e $n^2\ge 0$, então

$$0\le \frac{k_h^2}{k_h^2+n^2}\le 1,\qquad 0\le \frac{n^2}{k_h^2+n^2}\le 1,$$

e a soma dos pesos é 1. Portanto $\omega^2$ é uma combinação convexa entre $N^2$ e $f^2$, logo fica entre eles.

Quando $N\gg f$ (isto é, $N>f$), conclui-se:

$$f^2\le \omega^2\le N^2 \;\Rightarrow\; f\le \omega\le N.$$

(b) Caso $k_h\ll n$

Se $k_h\ll n$, então $k_h^2+n^2\approx n^2$. Substituindo na expressão:

$$\omega^2\approx \frac{N^2k_h^2+f^2n^2}{n^2}=f^2+N^2\frac{k_h^2}{n^2}.$$

Assim, para ondas de grande escala (vertical dominante), $\omega$ fica próximo de $f$ e a correção é de ordem $(k_h/n)^2$.

Alternativa correta: (não aplicável; questão discursiva).