Considere ondas internas em um fluido estratificado com frequência de Brunt–Väisälä N. A equação geral para a dispersão dessas ondas, considerando a rotação, será: (ver fórmulas). Onde k_h = √(ℓ^2 + m^2) é o número de onda horizontal. a) Mostre que, quando N » f, a frequência ω é limitada ao intervalo f ≤ ω ≤ N. b) Para ondas com ω « N, ou seja, ondas de grande escala (marés internas por exemplo) e a componente vertical torna-se dominante, como se simplifica a relação de dispersão?

Temos a relação de dispersão (com rotação):

$$\omega^2=\frac{N^2\,k_h^2+f^2\,n^2}{k_h^2+n^2},\qquad k_h=\sqrt{\ell^2+m^2}.$$

(a) Mostrar que, quando $N\gg f$, $f\le \omega\le N$

Reescreva como uma combinação convexa (média ponderada) de $N^2$ e $f^2$:

$$\omega^2 =\frac{k_h^2}{k_h^2+n^2}N^2+\frac{n^2}{k_h^2+n^2}f^2.$$

Defina os pesos

$$\alpha=\frac{k_h^2}{k_h^2+n^2},\qquad \beta=\frac{n^2}{k_h^2+n^2}.$$

Então $\alpha\ge 0$, $\beta\ge 0$ e $\alpha+\beta=1$. Logo,

$$\omega^2=\alpha N^2+\beta f^2$$

fica necessariamente entre os extremos $f^2$ e $N^2$:

$$\min(f^2,N^2)\le \omega^2\le \max(f^2,N^2).$$

Como (fisicamente) em fluido estratificado estável tipicamente $N\ge f$ e o enunciado assume $N\gg f$, resulta

$$f^2\le \omega^2\le N^2\quad\Rightarrow\quad f\le \omega\le N.$$

(Os limites são atingidos em casos-limite: se $k_h\to 0$ então $\omega\to f$; se $n\to 0$ então $\omega\to N$.)

(b) Para $\omega\ll N$ (ondas de grande escala) e componente vertical dominante

“Componente vertical dominante” significa que o número de onda vertical domina o denominador, isto é, $n^2\gg k_h^2$. Então:

• No denominador: $k_h^2+n^2\approx n^2$.
• No numerador: mantém-se $N^2k_h^2+f^2n^2$.

Substituindo:

$$\omega^2\approx \frac{N^2k_h^2+f^2n^2}{n^2} = f^2+N^2\frac{k_h^2}{n^2}.$$

Essa é a forma simplificada quando $n\gg k_h$.

Em muitos casos de ondas internas de grande escala ainda vale $\omega\gg f$ (não necessariamente, mas frequentemente). Se, além de $n\gg k_h$, também $\omega^2\gg f^2$, o termo $f^2$ pode ser desprezado e fica a aproximação clássica:

$$\omega^2\approx N^2\frac{k_h^2}{n^2}\quad\Rightarrow\quad \omega\approx N\,\frac{k_h}{n}.$$

Alternativa correta: (não se aplica; questão discursiva).