A razão de uma progressão aritmética é r = 8. Se o vigésimo termo dessa progressão é igual a 20, seu menor termo positivo é?

Numa progressão aritmética (PA), o termo geral é

$a_n = a_1 + (n-1)r.$

Dados: $r=8$ e $a_{20}=20$. Então:

$20 = a_1 + (20-1)\cdot 8 = a_1 + 19\cdot 8 = a_1 + 152.$

Logo,

$a_1 = 20 - 152 = -132.$

Os termos da PA são: $a_n = -132 + (n-1)\cdot 8$. Queremos o menor termo positivo, isto é, o primeiro termo $>0$.

Resolviendo:

$-132 + (n-1)\cdot 8 > 0$ $(n-1)\cdot 8 > 132$ $n-1 > 16{,}5$

Como $n$ é inteiro, o menor valor possível é $n-1=17 \Rightarrow n=18$.

Então:

$a_{18} = -132 + 17\cdot 8 = -132 + 136 = 4.$

E de fato $a_{17}=-132+16\cdot 8=-4$ (ainda negativo), portanto $4$ é o menor termo positivo.