É partição de um conjunto quando são atendidas as seguintes condições: nenhum dos elementos da partição é o conjunto vazio, a interseção de quaisquer dois elementos da partição é o conjunto vazio e a união de todos os elementos de partição é o conjunto. Assinale a opção que é uma partição do conjunto A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}:

Para ser partição de $A=\{2,3,4,5,6,7\}$, a família de subconjuntos deve satisfazer:

1. nenhum subconjunto é vazio;
2. subconjuntos são dois a dois disjuntos (interseção vazia);
3. a união de todos os subconjuntos é exatamente $A$.

Analisando as alternativas:

a) $\{\{2,3\},\{4,6\},\{3,4\},\{5\}\}$ não é partição, pois não são disjuntos: $\{2,3\}\cap\{3,4\}=\{3\}\neq\varnothing$.

b) contém o conjunto vazio ($\varnothing$), então já viola a condição 1.

c) $\{\{2\},\{3\},\{4\},\{6\}\}$ não cobre $A$ (faltam 5 e 7). Logo, $\bigcup \neq A$.

d) $\{\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{2,6\}\}$ não é disjunta: $\{2\}\cap\{2,6\}=\{2\}\neq\varnothing$ (e também $\{6\}\cap\{2,6\}=\{6\}$).

e) $\{\{2,3\},\{4,6\},\{5,7\}\}$:

• nenhum é vazio;
• são disjuntos entre si;
• a união é $\{2,3,4,6,5,7\}=\{2,3,4,5,6,7\}=A$.

Portanto, é a única partição.