O conjunto {{2}; {3, 4}; {5}} é uma partição do...

Questão

O conjunto {{2}; {3, 4}; {5}} é uma partição do conjunto B. É correto afirmar que:

a) O conjunto B possui 3 elementos.

b) O conjunto B = {2; {3, 4}; 5}.

c) O conjunto {{2}; {3, 4}; {5}} não pode ser partição de B, pois está faltando o conjunto vazio.

d) O conjunto {{2}; {3, 4}; {5}} não pode ser partição de B, pois não constam todas as combinações com os seus elementos.

Resposta certa

e) O conjunto B possui 16 subconjuntos ou 16 partes.

Seja a família de subconjuntos $\mathcal{P} = \{\{2\},\;\{3,4\},\;\{5\}\}$ uma partição de um conjunto $B$ .

Por definição, uma partição de $B$ é um conjunto de subconjuntos não vazios, dois a dois disjuntos, cuja união é $B$ .

Como $\mathcal{P}$ é partição de $B$ , então $B = \{2\} \cup \{3,4\} \cup \{5\} = \{2,3,4,5\}.$ Logo, $B$ tem 4 elementos.
Um conjunto com 4 elementos possui $2^4 = 16$ subconjuntos (partes).

Analisando as alternativas:

(a) Falsa: $B$ tem 4 elementos, não 3.
(b) Falsa: isso misturaria elementos e subconjuntos como elementos; o correto é $B=\{2,3,4,5\}$ .
(c) Falsa: em partições não entra o conjunto vazio.
(d) Falsa: partição não exige “todas as combinações”, exige blocos disjuntos cobrindo $B$ .
(e) Verdadeira: $|\mathcal{P}(B)| = 2^{|B|} = 2^4 = 16$ .