Em qual das alternativas abaixo encontramos o resultado correto do quociente entre as dízimas periódicas 2,313131... e 2,03333...?

Vamos transformar cada dízima periódica em fração.

1) Converter $2,313131\ldots$ A parte periódica é “31” (período de 2 algarismos): [ 0,313131\ldots = \frac{31}{99} ] Então: [ 2,313131\ldots = 2 + \frac{31}{99} = \frac{198}{99} + \frac{31}{99} = \frac{229}{99}. ]

2) Converter $2,03333\ldots$ Aqui temos uma parte não periódica (o 0) e depois período “3”. Note que: [ 0,03333\ldots = 0,0\overline{3} = \frac{1}{10}\cdot 0,\overline{3} = \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{30}. ] Logo: [ 2,03333\ldots = 2 + \frac{1}{30} = \frac{60}{30} + \frac{1}{30} = \frac{61}{30}. ]

3) Calcular o quociente [ \frac{2,313131\ldots}{2,03333\ldots} = \frac{\frac{229}{99}}{\frac{61}{30}} = \frac{229}{99}\cdot\frac{30}{61}. ] Simplificando $\frac{30}{99}=\frac{10}{33}$: [ \frac{229}{99}\cdot\frac{30}{61} = \frac{229\cdot 10}{33\cdot 61} = \frac{2290}{2013}. ]

Agora verificamos nas alternativas: $\frac{2290}{2013}$ aparece na letra C.

Como o enunciado pede a alternativa correta, a correta é a que contém esse valor.

Alternativa correta: (C).