Matemática: (CMRJ) O Prof. Pinheiro, do CMRJ, resolveu desafiar seus três melhores alunos do 9º ano, Huguinho, Zezinho e Luizinho, com um problema para cada um. Depois de resolvê-los, os alunos entregaram suas respostas. Huguinho Resposta: O valor de $\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$ é igual a $1+\sqrt{3}$. Zezinho Resposta: O quadrado da expressão $\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$ é igual a um número inteiro. Luizinho Resposta: A soma dos algarismos do número $10^{2021}-10^{2019}$ é um múltiplo de 3. O Prof. Pinheiro concluiu que

Vamos verificar cada afirmação.

1) Huguinho Queremos calcular $\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$. Observe que $(1+\sqrt{3})^3=1^3+3\cdot 1^2\sqrt{3}+3\cdot 1\,(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^3.$ Calculando termo a termo:

• $1^3=1$
• $3\cdot 1^2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
• $3\cdot 1\,(\sqrt{3})^2=3\cdot 3=9$
• $(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}$ Somando: $(1+\sqrt{3})^3 = (1+9) + (3\sqrt{3}+3\sqrt{3}) = 10+6\sqrt{3}.$ Logo, $\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}$ (raiz cúbica real). Huguinho acertou.

2) Zezinho Seja $E=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$. Então \begin{align*} E^2 &= (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^2 + (\sqrt{3-2\sqrt{2}})^2 -2\sqrt{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}\ &= (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) -2\sqrt{9-(2\sqrt{2})^2}\ &= 6 -2\sqrt{9-8}\ &= 6-2\sqrt{1}\ &=4. \end{align*} Como $4$ é inteiro, Zezinho acertou.

3) Luizinho $10^{2021}-10^{2019}=10^{2019}(10^2-1)=10^{2019}\cdot 99.$ Isso é o número $99$ seguido de $2019$ zeros. A soma dos algarismos de $99\underbrace{00\ldots 0}_{2019\text{ zeros}}$ é $9+9=18$, que é múltiplo de 3. Luizinho acertou.

Portanto, os três alunos acertaram. Alternativa correta: (a).