Utilize os 4 primeiros termos da Série de Taylor para calcular o seno de 20°.

Queremos aproximar $\sin(20^\circ)$ usando os 4 primeiros termos da série de Taylor de $\sin(x)$ em torno de 0 (série de Maclaurin):

$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

1. Converter graus para radianos

$20^\circ=20\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{9}\approx 0{,}3491$

2. Calcular os 4 termos para $x\approx 0{,}3491$

• $T_1=x\approx 0{,}3491$

• $T_2=-\dfrac{x^3}{3!}=-\dfrac{x^3}{6}$

  $x^2\approx 0{,}3491^2\approx 0{,}1219$ e $x^3\approx 0{,}1219\cdot 0{,}3491\approx 0{,}0426$

  $T_2\approx -\frac{0{,}0426}{6}\approx -0{,}0071$

• $T_3=\dfrac{x^5}{5!}=\dfrac{x^5}{120}$

  $x^4\approx (0{,}1219)^2\approx 0{,}0149$ e $x^5\approx 0{,}0149\cdot 0{,}3491\approx 0{,}0052$

  $T_3\approx \frac{0{,}0052}{120}\approx 0{,}000043$

• $T_4=-\dfrac{x^7}{7!}=-\dfrac{x^7}{5040}$

  $x^6\approx (0{,}0052)\cdot (0{,}3491)\approx 0{,}0018$ e $x^7\approx 0{,}0018\cdot 0{,}3491\approx 0{,}00064$

  $T_4\approx -\frac{0{,}00064}{5040}\approx -0{,}00000013$

3. Somar os 4 termos

$\sin(20^\circ)\approx 0{,}3491-0{,}0071+0{,}000043-0{,}00000013\approx 0{,}3420$

Arredondando para duas casas decimais: $0{,}34$.