Usando o teste da integral (ou de Cauchy) determine se as séries são convergentes.

Vamos analisar as três séries (todas com termos positivos) pelo teste da integral (Cauchy), isto é: se $f(x)$ é positiva, contínua e decrescente em $[1,\infty)$ e $a_n=f(n)$, então $\sum a_n$ converge ⇔ $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ converge.

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1) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n+1}$

Considere $f(x)=\frac{1}{3x+1}$, que é positiva e decrescente para $x\ge 1$.

Teste da integral:

$$\int_1^{\infty} \frac{1}{3x+1}\,dx$$

Faça $u=3x+1 \Rightarrow du=3dx \Rightarrow dx=\frac{du}{3}$:

$$\int \frac{1}{3x+1}\,dx=\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du=\frac{1}{3}\ln|u|=\frac{1}{3}\ln(3x+1)$$

Então

$$\int_1^{\infty} \frac{1}{3x+1}\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac{1}{3}\bigl[\ln(3b+1)-\ln(4)\bigr]=\infty$$

A integral diverge, logo a série diverge.

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2) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}$

Considere $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$, positiva e decrescente em $[1,\infty)$.

Teste da integral:

$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+1}\,dx =\Bigl[\arctan(x)\Bigr]_1^{\infty} =\frac{\pi}{2}-\arctan(1) =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4}$$

A integral converge, logo a série converge.

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3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}}$

Escreva $\frac{n}{e^{n^2}}=n e^{-n^2}$. Considere $f(x)=x e^{-x^2}$, positiva e (a partir de $x\ge 1$) decrescente.

Teste da integral:

$$\int_1^{\infty} x e^{-x^2}\,dx$$

Faça $u=x^2 \Rightarrow du=2x\,dx \Rightarrow x\,dx=\frac{1}{2}du$:

$$\int_1^{\infty} x e^{-x^2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du =\frac{1}{2}\Bigl[-e^{-u}\Bigr]_{1}^{\infty} =\frac{1}{2}(0-(-e^{-1})) =\frac{1}{2e}$$

A integral converge, logo a série converge.

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Conclusão (na ordem): Divergente; Convergente; Convergente.