Considere as seguintes afirmações a respeito da seguinte transformação linear: T: R^2 → R^2 tal que T(x,y) = (-x, y). I – Esta transformação faz com que um vetor v seja rotacionado necessariamente 90°. II – Esta transformação faz com que a imagem do vetor dado seja simétrica em relação ao eixo y. III – Esta transformação faz com que a imagem de um vetor dado seja simétrica em relação ao eixo x. IV – Esta transformação faz com que a imagem de um vetor dado seja simétrica em relação à origem do sistema de coordenadas cartesianas. Analisando as afirmações feitas, podemos dizer que:

A transformação linear é dada por

$T(x,y)=(-x,y).$

Isso significa que ela troca o sinal da coordenada $x$ e mantém a coordenada $y$.

Vamos analisar cada afirmação:

I – “rotacionado necessariamente 90°.” Uma rotação de $90^\circ$ transformaria, por exemplo, $(1,0)$ em $(0,1)$ (ou $(0,-1)$, dependendo do sentido). Aqui, $(1,0)\xmapsto{T}(-1,0),$ que é uma reflexão, não uma rotação de $90^\circ$. Logo, I é falsa.

II – “simétrica em relação ao eixo $y$.” Reflexão em relação ao eixo $y$ leva $(x,y)$ em $(-x,y)$, exatamente o que $T$ faz. Portanto, II é verdadeira.

III – “simétrica em relação ao eixo $x$.” Reflexão em relação ao eixo $x$ levaria $(x,y)$ em $(x,-y)$, o que não acontece aqui. Logo, III é falsa.

IV – “simétrica em relação à origem.” Simetria em relação à origem (ou rotação de $180^\circ$) levaria $(x,y)$ em $(-x,-y)$. Aqui apenas $x$ muda de sinal. Logo, IV é falsa.

Conclusão: somente a afirmação II é verdadeira.

Alternativa correta: (e).