Considere a situação-problema a seguir: Um grupo de cientistas, estudando o crescimento populacional de um certo tipo de bactéria em relação a outro tipo de bactéria que prejudica o crescimento conjunto, chegou ao seguinte equacionamento: Considere o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas; obtenha a relação entre o crescimento da bactéria x e y utilizando o método de resolução de equações diferenciais exatas. Avalie as afirmativas a seguir.

Temos a EDO na forma diferencial

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$, com $M(x,y)=e^{2y}-y\cos(xy)$ e $N(x,y)=2xe^{2y}-x\cos(xy)+2y$.

1) Verificar exatidão

Calculamos as derivadas parciais:

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2y}-y\cos(xy)\big)=2e^{2y}-\cos(xy)+xy\,\sin(xy)$.

$\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xe^{2y}-x\cos(xy)+2y\big)=2e^{2y}-\cos(xy)+xy\,\sin(xy)$.

Como $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$, a equação é exata.

2) Encontrar a função potencial $F(x,y)$ tal que $dF = M\,dx+N\,dy$

Integramos $M$ em relação a $x$:

$F(x,y)=\int \left(e^{2y}-y\cos(xy)\right)dx = x e^{2y} - \int y\cos(xy)\,dx$.

Para $\int y\cos(xy)\,dx$, tome $u=xy\Rightarrow du=y\,dx$. Então:

$\int y\cos(xy)\,dx = \int \cos(u)\,du = \sin(u)=\sin(xy)$.

Logo,

$F(x,y)=x e^{2y}-\sin(xy)+g(y)$, onde $g(y)$ depende só de $y$.

3) Determinar $g(y)$ usando $F_y=N$

Derivando $F$ em relação a $y$:

$\displaystyle F_y=2x e^{2y}-x\cos(xy)+g'(y)$.

Igualamos a $N(x,y)=2xe^{2y}-x\cos(xy)+2y$:

$2x e^{2y}-x\cos(xy)+g'(y)=2x e^{2y}-x\cos(xy)+2y \Rightarrow g'(y)=2y$.

Então $g(y)=y^2$ (absorvendo constante em $C$).

4) Relação implícita solução

$F(x,y)=C \Rightarrow x e^{2y}-\sin(xy)+y^2=C$.

Reescrevendo no formato das alternativas: $x e^{2y}-\sin(xy)+y^2 + c = 0$.