Em um experimento, que foi observado durante 8 horas, um material foi exposto a uma fonte de calor no momento inicial, quando sua temperatura era de 2°C. Após 2 horas, sua temperatura estava em 5°C, e às 4 horas, a fonte de calor foi retirada e o material começou a resfriar-se. Considerando que a função f(t), que escreve a temperatura no momento t, em horas, é uma função quadrática, analise as afirmações a seguir: I. A lei de formação da função f definida para 0 ≤ t ≤ 8 é f(t) = -1/4 t^2 + 2t + 2. II. A temperatura máxima atingida pelo material foi de 6°C. III. No intervalo de tempo estudado a temperatura do material chega a 0°C uma vez. Assinale a alternativa CORRETA.

Vamos usar os dados do enunciado e o fato de f(t) ser quadrática.

Dados:

• f(0)=2 (temperatura inicial)
• f(2)=5 (após 2 horas)
• Em t=4 a fonte é retirada e começa a resfriar. Para uma parábola (função quadrática), isso indica que em t=4 ocorre o ponto de máximo (vértice), isto é, f′(4)=0.

Modelemos f(t)=at^2+bt+c.

1. De f(0)=2 ⇒ c=2.
2. De f(2)=5 ⇒ 4a+2b+2=5 ⇒ 4a+2b=3. (Equação A)
3. Como começa a resfriar a partir de t=4, o máximo é em t=4. Para f(t)=at^2+bt+c, temos f′(t)=2at+b. Então f′(4)=0 ⇒ 8a+b=0 ⇒ b=-8a. (Equação B)

Substituindo (B) em (A): 4a+2(-8a)=3 ⇒ 4a-16a=3 ⇒ -12a=3 ⇒ a=-\tfrac{1}{4}. Logo b=-8a=2 e c=2.

Portanto, $f(t)=-\tfrac{1}{4}t^2+2t+2$

Avaliação das afirmações:

I. f(t) = -1/4 t^2 + 2t + 2.

• Verdadeira (foi exatamente a função determinada pelos dados).

II. A temperatura máxima foi 6°C.

• Como o máximo ocorre no vértice t_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2(-1/4)}=4.
• f(4)= -\tfrac{1}{4}(16)+2\cdot4+2= -4+8+2=6.
• Verdadeira.

III. No intervalo 0 ≤ t ≤ 8 a temperatura chega a 0°C uma vez.

• Resolver f(t)=0: -\tfrac{1}{4}t^2+2t+2=0. Multiplicando por -4: t^2-8t-8=0. $t=\frac{8\pm\sqrt{64+32}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{96}}{2}=4\pm 2\sqrt{6}$
• Valores aproximados: 4-2\sqrt6≈4-4,90≈-0,90 (fora do intervalo) e 4+2\sqrt6≈8,90 (maior que 8).
• Então, em 0 ≤ t ≤ 8, f(t) não zera nenhuma vez.
• Falsa.

Conclusão: somente I e II são verdadeiras.