Após a integração e resolução de equações diferenciais, obtemos uma função com uma constante de integração (geralmente denominada c), ou seja, a solução define uma família infinita de soluções, uma para cada valor da constante c, ou seja, a constante c, chamada também de constante arbitrária, designa uma solução em forma de equação. Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação diferencial x e^{-y} sen(x) dx - y dy = 0, calcule a solução para a equação diferencial. (Dica: multiplicar todos termos por e^{y}) Avalie as alternativas abaixo:

Temos a EDO:

$x e^{-y}\,\sin(x)\,dx - y\,dy = 0$.

1) Multiplicar por $e^{y}$ (como a dica sugere):

$e^{y}\big(x e^{-y}\sin(x)\,dx - y\,dy\big)=0$

$\Rightarrow x\sin(x)\,dx - y e^{y}\,dy = 0$.

2) Separar variáveis:

$x\sin(x)\,dx = y e^{y}\,dy$.

3) Integrar os dois lados:

$\int x\sin(x)\,dx = \int y e^{y}\,dy$.

• Lado esquerdo (por partes):

  Tome $u=x \Rightarrow du=dx$ e $dv=\sin(x)dx \Rightarrow v=-\cos(x)$.

  Então:

  $\int x\sin(x)dx = uv - \int v\,du$

  $= x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx$

  $= -x\cos x + \int \cos x\,dx$

  $= -x\cos x + \sin x$.

• Lado direito (também por partes):

  Tome $u=y \Rightarrow du=dy$ e $dv=e^{y}dy \Rightarrow v=e^{y}$.

  Então:

  $\int y e^{y}dy = uv - \int v\,du$

  $= y e^{y} - \int e^{y}dy$

  $= y e^{y} - e^{y}$.

4) Igualar e colocar a constante de integração:

$-x\cos(x) + \sin(x) = y e^{y} - e^{y} + c$.

Isso coincide exatamente com a alternativa B.