Uma equação diferencial ordinária de primeiro grau pode ser muitas vezes simplesmente solucionada pelo método das variáveis separáveis, tal método, que é considerado a forma mais simples de se resolver uma equação diferencial, basicamente divide as variáveis independentes e dependentes com seus respectivos fatores de integração, permitindo a integração das variáveis. Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a equação abaixo utilizando o método das variáveis separáveis: dy/dx = (1+e2x) Avalie as afirmativas a seguir:

A EDO dada é

$\dfrac{dy}{dx} = 1 + e^{2x}$.

Como o lado direito depende apenas de $x$, basta integrar em relação a $x$:

$dy = (1 + e^{2x})\,dx$

$\int dy = \int (1 + e^{2x})\,dx$

No lado esquerdo:

$\int dy = y$.

No lado direito:

$\int (1)\,dx = x$

e

$\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}$, pois se $u=2x$, então $du=2dx$ e $dx=\frac{du}{2}$:

$\int e^{2x}dx = \int e^{u}\frac{du}{2} = \frac{1}{2}e^{u} = \frac{1}{2}e^{2x}$.

Logo, a solução geral é

$y = x + \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Isso corresponde à alternativa C.