Observe a figura seguinte. Responda: a) Quais são as medidas dos ângulos BÂC e ÂBC? b) Usando o conceito de ângulo externo, mostre que o ângulo externo β está correto.

Pela figura, temos o triângulo $ABC$ com:

• ângulo em $C$: $\gamma = 98^\circ$ (ângulo interno do triângulo);
• em $B$ aparece $\alpha = 37^\circ$ desenhado como ângulo vertical ao ângulo interno do triângulo em $B$;
• em $A$ aparece o ângulo externo $\beta = 135^\circ$.

a) Medidas de $\angle B\hat{A}C$ e $\angle \hat{A}BC$

Ângulo $\angle \hat{A}BC$ (ângulo interno em B)

No ponto $B$, o ângulo $\alpha=37^\circ$ está formado pelas extensões (linhas tracejadas) do lado $BC$ e da reta horizontal. Esse ângulo é vertical ao ângulo interno do triângulo em $B$ (pois é formado pelas mesmas duas retas que se cruzam, só que do “lado oposto”).

Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, então:

$$\angle \hat{A}BC = 37^\circ.$$

Ângulo $\angle B\hat{A}C$ (ângulo interno em A)

A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$:

$$\angle B\hat{A}C + \angle \hat{A}BC + \angle A\hat{C}B = 180^\circ.$$

Substituindo $\angle \hat{A}BC=37^\circ$ e $\angle A\hat{C}B=98^\circ$:

$$\angle B\hat{A}C + 37^\circ + 98^\circ = 180^\circ$$ $$\angle B\hat{A}C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ.$$

Portanto:

• $\angle B\hat{A}C = 45^\circ$
• $\angle \hat{A}BC = 37^\circ$

b) Verificar que o ângulo externo $\beta$ está correto

Pelo teorema do ângulo externo: o ângulo externo de um triângulo, em um vértice, é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Em $A$, o ângulo externo é $\beta$, então:

$$\beta = \angle ABC + \angle ACB.$$

Substituindo os valores:

$$\beta = 37^\circ + 98^\circ = 135^\circ.$$

Como o desenho indica $\beta=135^\circ$, ele está correto.

Alternativa correta: (não há alternativas).